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Para um corpo se movendo sobre um eixo $x$, sujeito à uma força variável $F(x)$, o trabalho realizado pela força entre as posições $x_i$ e $x_f$ é dado por
\[
\tau = \int_{x_i}^{x_{f}} F(x) dx
\]
Se $F(x)$ for a força resultante, temos que
\[
F(x) = m a
\]
Desta vez, a aceleração $a$ não é mais constante e portanto não podemos mais utilizar as equações do MRUV.
Formalmente, podemos obter a aceleração instantânea através da expressão
\[
a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt}
\]
Na linguagem do cálculo diferencial e integral, dizemos que a aceleração (instantânea) é a derivada da velocidade (instantânea) em relação ao tempo.
O trabalho de uma força resultante será dado portanto por
\[
\tau_r = \int_{x_i}^{x_f} m a dx = m \int_{x_i}^{x_f} \frac{dv}{dt} d x
\]
onde a massa $m$ “sai” da integral por ser uma constante.
O próximo passo requer uma regra de derivação que é ensinada em qualquer disciplina de “Cálculo I” de um curso universitário. Trata-se da regra da cadeia, que se trata de uma regra para derivar uma função composta, do tipo $v=v(x)$, mas $x=x(t)$, ou seja, $v(x(t))$, que costuma ser denotado como $v \circ x(t)$ (famosa gof(x)!)
Pela regra da cadeia,
\[
\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx} v
\]
onde a velocidade instantânea $v$ é a derivada da posição $x$ em relação ao tempo:
\[
v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}
\]
Assim, teremos então:
\[
\tau_r = m \int_{x_i}^{x_f} v \frac{dv}{dx} dx
\]
Em cálculo, se $v=v(x)$, dizemos que $dv$, que é o diferencial de $v$, é dado por
\[
dv = \frac{dv}{dx} dx
\]
Portanto, com esta troca usando a identidade acima, ao invés de integrar na variável $x$, conseguimos agora integrar na variável $v$:
\[
\tau_r = m \int_{v_i}^{v_f} v dv
\]
Por consistência, trocamos os limites da integração $x_i$ e $x_f$ (posições inicial e final) por $v_i$ e $v_f$ (velocidades inicial e final).
Após um curso básico de cálculo, você verá que a integral acima em $v$ é bastante simples, e dá o valor $v^2/2$. Substituindo os limites da integração, obtemos novamente que
\[
\tau_r = \frac{1}{2} m v_f^2 – \frac{1}{2} m v_i^2
\]
demonstrando assim o teorema trabalho-energia cinética para uma força unidimensional variável.
de um objeto simples é:![\[ I=mr^{2} \]](http://leis-de-conservacao.propg.ufabc.edu.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-45262fe8527087aa9b4b4d75520124b4_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
é a massa em quilograma e 
é a distância do objeto até o eixo de rotação em metros. Assim se a distância entre o objeto e o eixo de rotação diminui, o momento de inércia diminui, por isso que ao encolher os braços e as pernas o atleta gira mais rápido.
