A Energia Cinética de Um Corpo Rolando

Quando discutimos um processo de colisão, é comum ilustrarmos o fenômeno através da colisão entre bolas de bilhar. Quando afirmamos que esse tipo de colisão é elástica e portanto usamos a equação da conservação da energia cinética,

$K_i = K_f \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}m_1 v_1^2 +\frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2}m_1 v_1^{\prime 2} +\frac{1}{2} m_2 v_2^{\prime 2}$

não estamos levando em conta que as bolas estão rolando! No entanto, como as bolas estão rolando, é preciso contabilizar a energia cinética de rotação das bolas.

Embora não seja tão comum, as vezes utilizamos uma bolinha rolando ladeira abaixo para ilustrar a conservação da energia total (mecânica) do sistema. Se uma bola de massa $m$ rola de uma rampa de altura $h$ , qual a sua velocidade na base da rampa?

Sem hesitar, fazemos

$E_i = E_f \quad \Rightarrow \quad mgh = \frac{1}{2}m v^2$

O movimento de uma bola rolando é uma combinação de movimento de translação, que é o movimento do centro de massa da bola, e de rotação, com a bola girando em torno de um eixo que passa pelo centro de massa. Neste caso, o eixo de rotação sofre uma translação. Em suma, trata-se de um movimento combinado.

De acordo com o discutido na seção anterior, a energia cinética de rotação é dada por

$K = \frac{1}{2} I \omega^2$

Se o corpo de raio $R$ estiver rolando e possuir velocidade de translação $\vec{v}$ , como escrever a energia cinética total?

Antes de responder a essa pergunta, temos que entender o que é a velocidade $\vec{v}$ da bola? Se ela não estive deslizando, a velocidade instantânea da bola no ponto de contato com o chão é zero. Se não for, estará deslizando.

Seguindo a análise, é razoável esperar que o centro de massa da bola, que descreve um movimento retilíneo, da bola rolando em linha reta, deva possuir velocidade $\vec {v}$ , também num movimento retilíneo.

Por outro lado, se a bola só gira, com o seu centro de massa em repouso, as velocidades nas extremidades de baixo e de cima estão na mesma direção, mas em sentidos opostos.

Posto isto, podemos entender o movimento de rolamento como sendo uma combinação de dois movimentos: translação pura e rotação pura. A figura abaixo nos ajuda a compreender a velocidade nos três pontos principais: no centro de massa, no topo e na base:

Temos portanto que a energia cinética de rolamento é a soma das energias cinéticas de rotação e translação, ou seja,

$K_\textrm{rol.} = \frac{1}{2} I_{cm} \omega^2 + \frac{1}{2} m v^2$

onde $I$ é o momento de inércia do objeto em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa.

Como $v=\omega R$ , temos que

$K_\textrm{rol.} =\frac{1}{2} \left(m+ \frac{I_{cm}}{R^2}\right) v^2$

A Competição dos Cilindros Rolando

Vamos supor dois objetos cilíndricos de mesma massa $m$ e raio $R$ . O primeiro é maciço, enquanto o segundo é uma casca cilíndrica.

Se colocarmos os dois cilindros a uma altura $h$ para descer por um plano inclinado, qual deles chegará primeiro à base do plano? Vamos tomar cuidado para que ambos os cilindros rolem pelo plano, sem que ocorra o deslizamento.

Pela conservação da energia total do sistema (mecânica), temos que

$E_\textrm{topo} = E_\textrm{base} \quad \Rightarrow \quad mg h = \frac{1}{2} \left(m+ \frac{I}{R^2}\right) v^2$

Estamos tomando a energia potencial em relação ao centro de massa dos objetos e que $U=0$ quando os mesmos se encontram na base da rampa.

Como os momentos de inércia do cilindro sólido e da casca cilíndrica com respeito ao eixo que passa pelo centro de massa são

$I_\textrm{cil. mac.} = \frac{1}{2} mR^2 \quad \textrm{ e } \quad I_\textrm{casca} = mR^2,$

podemos escrever $I= \kappa mR^2$ , onde $\kappa = 1/2$ para o cilindro maciço e 1 para a casca cilíndrica. Logo, a velocidade na base da rampa é dada por