Conservação de Momento Linear de Sistemas de Massa Variável

Até agora discutimos a conservação de momento linear para sistemas de massa constante. Vamos agora discutir a conservação do momento linear para sistemas de massa variável, como por exemplo, o foguete.

A massa do sistema que forma o foguete é a sua carcaça mais o seu combustível que é queimado com o passar do tempo fazendo com que a massa do sistema diminua ao decorrer do tempo.

O foguete funciona da seguinte forma: longe do campo gravitacional, ele atira os gases para trás (proveniente da queima do combustível) e por causa da terceira de Newton ele é empurrado para frente.

A figura a seguir ilustra o par de forças de ação e reação.

Os gases ejetados possuem uma velocidade relativa entre a velocidade do foguete e a velocidade de exaustão. A massa dos gases corresponde a variação de massa entre a massa final do sistema e a massa inicial. Como a massa final é menor que a massa inicial temos que a variação de massa que corresponde a massa de gases ejetada é um valor negativo.

Vamos então analisar o momento linear do foguete para dois instantes distintos.

a. para um instante $t$

Temos que a massa do sistema é $m(t)=m$ e a velocidade é $v(t)=v$ , então o momento linear é

$p(t)=mv$

b. para um instante $t+\Delta t$

Neste instante em relação ao anterior temos que se passou um intervalo de tempo $\Delta t$ , então o instante é representado por $t+\Delta t$ . Para esta variação de tempo temos que a massa também variou em $\Delta m$ , então a massa agora é $m(t+\Delta t)=m+\Delta m$ . Por fim temos a variação de velocidade $\Delta v$ , que é um valor positivo, pois representa o aumento da velocidade fornecendo a velocidade $v(t+\Delta t)=v+\Delta v$ .

Assim o momento é determinado pelo momento do sistema foguete+combustível que sobrou menos o momento do gás ejetado. Equacionando temos

$p(t+\Delta t)=(m+\Delta m)(v+\Delta v)-\Delta m(v-v_{ex})$

em que $(v-v_{ex})$ representa a velocidade do gás, que corresponde a velocidade relativa entre a velocidade do foguete e velocidade de exaustão.

De acordo com a conservação do momento podemos escrever

$p(t)=p(t+\Delta t)$

$mv=(m+\Delta m)(v+\Delta v)-\Delta m(v-v_{ex})\rightarrow mv=mv+\Delta m v+m\Delta v+\Delta m\Delta v-\Delta mv+\Delta mv_{ex}$

$0=m\Delta v+\Delta mv_{ex}\rightarrow m\Delta v=-\Delta mv_{ex}$

Com a variação de tempo tendendo a zero temos:

$m\frac{dv}{dt}=-v_{ex}\frac {dm}{dt}$

A equação mostra que quanto mais a massa varia no tempo a velocidade aumenta, pois $dm/dt$ diminui e $dv/dt$ aumenta. No primeiro membro da equação temos $m\frac{dv}{dt}$ que representa força, então o segundo membro também representa uma força que é a força corresponde a que o gás faz sobre o foguete.

A variação de velocidade do foguete pode ser determinada integrando os dois membros da equação.

$m\frac{dv}{dt}=-v_{ex}\frac {dm}{dt}\rightarrow \int_{vi}^{vf}dv=-v_{ex}\int_{mi}^{mf}\frac{dm}{m}$

$v_{f}-v_{i}=v_{ex}ln\frac{m_{i}}{m_{f}}$

Isolando $v{f}$ podemos observar que a velocidade do foguete aumenta conforme a massa diminui. A equação mostra que o logaritmo da razão entre as massas é positivo, pois a massa inicial é sempre maior que a final e a velocidade de exaustão é constante.

Portanto a velocidade do sistema só aumenta conforme sua massa diminui.

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