O Paradoxo de Zenão

Um erro bastante comum ao medirmos velocidades relativas pode ser ilustrado pelo que ficou conhecido como sendo o Paradoxo do Estádio. 

Proposto pelo filósofo grego chamado Zenão (500 – 451 a.C.) esse foi um de seus quatro paradoxos pensados por ele, com o intuito de tentar explicar a noção de movimento. 

A versão original desse Paradoxo utilizava fileiras de guerreiros. Para deixarmos mais fácil de entender usaremos como exemplos fileiras de letras que encontram-se em movimento relativo.

Imagine três fileiras de letras paralelas que podem se deslocar em qualquer sentido.

AAA
BBB
CCC

Agora suponhamos que a fileira formada apenas pelas letras Bs, desloca-se com velocidade constante para a direita. Movendo-se com igual velocidade mas de sentido contrário, a fileira formada pelas letras Cs  faz o mesmo. Enquanto isso ocorre, a fileira formada pelas letras As permanece em repouso.Passado algum instante de tempo seria possível encontrar uma configuração como a representada abaixo.

                            AAA
                      \dpi{300} \bg_white \fn_cm \huge \leftarrow  BBB
                               CCC\dpi{300} \bg_white \fn_cm \huge \rightarrow

O tempo decorrido para que a fileira das letras Bs ultrapassasse a fileira das letras As, poderia ser facilmente calculado da seguinte forma

    \[t_{B} = \frac{\Delta s}{V_{B}}\]

Da mesma forma o tempo para que os Cs ultrapassassem os As seria da mesma forma

    \[t_{C} = \frac{\Delta s}{V_{C}}\]

Onde

Δs = distância percorrida correspondente ao tamanho de uma letra
VB = velocidade da fileira B para a esquerda
VC = velocidade da fileira C para a direita

Como o valor Δs é o mesmo para as duas fileiras, concluímos que o tempo transcorrido é o mesmo.

Calculando, segundo Zenão, os tempos de ultrapassagem entre as fileiras de letras Bs e Cs algo absurdo acontece.

Se ambos os trens possuem velocidade de módulo V, então, façamos o mesmo cálculo que tínhamos feito para a ultrapassagem da fileira de letras A, só que agora usaremos o deslocamento relativo entre os trens B e C.

Usaremos como valor de deslocamento, não apenas o Δs, mas 2·Δs, isso porque agora a quantidade de espaço deslocado corresponde à vacância de duas letras.

 

    \[t_{B\rightarrow C} = \frac{2\Delta s}{V_{B}}= t_{C\rightarrow B} = \frac{2\Delta s}{V_{C}} \ \ \ \ \left ( 1 \right )\]

Como sabemos

    \[t_{B} = \frac{\Delta s}{V_{B}} \ \ \ e \ \ \ t_{C} = \frac{\Delta s}{V_{C}}\]

Substituindo na equação (1)

    \[t_{B\rightarrow C} = 2t_{B}\ \ \ \ e\ \ \ \ \ \ t_{B\rightarrow C} = 2t_{C}\]

Obtemos que o tempo transcorrido para que os trens se ultrapassem mutuamente deve ser 

    \[2t_{B} = 2t_{C}= t_{B\rightarrow C} = t_{C\rightarrow B}\ \rightarrow Um \ absurdo\]

O intervalo de tempo não pode ser igual ao dobro do próprio intervalo de tempo.

O erro contido nesse suposto Paradoxo é o de que existe uma afirmação tida como verdadeira, que é a de que a velocidade é absoluta qualquer que seja o referencial de onde a estivermos medindo.

Está errado pois a velocidade que deve ser levada em conta é a da fileira de letras B em relação fileira de letras C.

Assim, consertando tal erro

    \[V_{B\rightarrow C} = V_{C\rightarrow B} = 2V_{B} = 2V_{C}\]

E então

    \[t_{B\rightarrow C} = \frac{2\Delta s}{2V_{B}}= t_{C\rightarrow B} = \frac{2\Delta s}{2V_{C}}= t_{B}=t_{C}\]

 

O resultado correto aparece porque escolhemos os referenciais de maneira correta. A velocidade entre as fileiras de letras Bs e Cs é uma velocidade relativa, e é isso que o Paradoxo do Estádio não levou em conta, assumiu que para qualquer que fosse o observador, ele mediria o mesmo valor de velocidade.

Não existe portanto um Paradoxo nessa situação, a falta de lógica surge quando Zenão toma como sendo absoluto o valor da velocidade em qualquer referencial em que ela é medida. Isso não é verdade porque a velocidade medida depende do próprio referencial utilizado.