Conservação do Momento Linear

Antes de discutirmos em que condição se dá a conservação do momento linear, ou seja, permanece constante num processo físico, vamos introduzir os conceitos de forças internas e externas.

Forças internas e Externas

No exemplo dos dois patinadores, concluímos que o momento linear total do sistema é uma grandeza conservada, ou seja,

$\vec{p}_1 + \vec{p}_ 2 = \textrm{ constante}$

onde $\vec{p_1}$ é o momento linear do patinador e $\vec{p}_2$ o da patinadora.

Este resultado é decorrente do fato de

$\vec{F}_{1(2)} + \vec{F}_{2(1)} = 0$

ou seja, as duas forças formam um par ação – reação. Essas forças surgem devido a interação entre os dois corpos que fazem parte do sistema (o patinador e a patinadora). Por isto, estas forças são ditas forças internas.

Forças que atuam sobre esses dois corpos que fazem parte do sistema, mas que tem origem devido a interação destes com corpos externos, são chamadas de forças externas. Por exemplo, a força gravitacional (força peso) de cada patinador é uma força externa, assim como a força de atrito entre os patins e o gelo.

Numa situação mais geral possível, temos que as forças resultantes sobre o patinador e a patinadora são, respectivamente

$\frac{d\vec{p}_1}{dt} = \vec{F}_{\textrm{res} (1)} = \vec{F}_{2(1)} + \vec{F}_{\textrm{ext}(1) } \quad \textrm{ e } \quad \frac{d\vec{p}_2}{dt} =\vec{F}_{\textrm{res} (2)} = \vec{F}_{1(2)} + \vec{F}_{\textrm{ext}(2) }$

Somando as duas equações acima membro a membro, obtemos:

$\frac{d}{dt}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)=\vec{F}_{1(2)}+\vec{F}_{2(1)}+\vec{F}_{\textrm{ext}(1)}+\vec{F}_{\textrm{ext}(2)}$

Como $\vec{F}_{1(2)}+\vec{F}_{2(1)}=0$ , temos:

$\frac{d}{dt}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)=\vec{F}_{\textrm{ext}(1)}+\vec{F}_{\textrm{ext}(2)}$

A equação mostra a condição para que o momento de um sistema se conserve, ou seja, a força resultante sobre ele deve ser nula. Fazendo $\vec{F}_{\textrm{ext (1)}}+\vec{F}_{\textrm{ext}(2)}= \vec{F}_\textrm{ext}$ , temos que:

$\frac{d}{dt}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)=\vec{F}_{\textrm{ext}}$

Em vista deste resultado, pelo menos para um sistema formado por dois corpos, podemos enunciar a lei da conservação do momento linear:

O momento linear total do sistema formado por dois corpos é conservado se a força total externa que age sobre eles é nulo.

A equação acima é vetorial, ou seja, deve ser válida componente a componente. Por exemplo, para a componente $x$ ,

$\frac{d}{dt}(p_{1,x}+ p_{2,x}) = F_{\textrm{ext},x}$

Caso só a componente $x$ da força seja nula, dizemos que o momento linear total se conservou na direção $x$ , mas não nas outras direções.

Exemplo: o pêndulo de Newton

O pêndulo de Newton é um dispositivo como mostrado na animação abaixo, facilmente encontrado em lojas de souvenir.

Resultado de imagem para pendulo de newton - gif

Se elevarmos uma esfera e soltá-la, ocorrerá uma sequência de colisões e somente a última bolinha irá subir, o restante permanecendo em repouso. Quando esta voltar, a bolinha solta inicialmente sobe e assim o movimento se repete diversas vezes, até que eventualmente todas as bolinhas entrem em repouso. Se soltarmos duas bolinha ao mesmo tempo, verificamos que as duas últimas sobem e assim por diante.

Nesta situação, evidentemente a força gravitacional age sobre todas as bolinhas e portanto não haverá conservação de momento linear na direção vertical. No entanto, como $F_{\textrm{res},x} = 0$ , sendo $x$ uma direção horizontal, verifica-se que:

$\frac{dp_\textrm{tot,x}}{dt} = F_{\textrm{res},x} = 0 \quad \Rightarrow \quad p_\textrm{tot,x} = \textrm{ constante}$

Considerando a massa de todas as esferas iguais a $m$ e que a velocidade da esfera inicial (a que soltamos) pouco antes da colisão é $v$ , temos que $p_i=mv$ . Haverá colisões sucessivas, sempre com a conservação do momento linear, de forma que a esfera final terá momento $p_f=p_i = mv$ . Como a velocidade é a mesma da esfera inicial, esta última conseguirá atingir a mesma altura e portanto o movimento se repetirá ciclicamente. Não indefinidamente, conforme se observa na prática, porque há forças dissipativas, de forma que a energia mecânica do sistema (soma das energias cinéticas e potencial, conforme visto Conservação da Energia Mecânica somente é aproximadamente conservada.

O link abaixo leva a uma simulação com várias bolinhas sendo soltas ao mesmo tempo.

Há outras formas de soltar as bolinhas, conforme mostra o vídeo abaixo, mas em todas as situações, a componente horizontal do momento linear é conservada, ou seja, é a mesma antes e depois da colisão.

Vídeo: Conservação do momento linear num pêndulo de Newton.

Exemplo: movimento no espaço sideral

No exemplo acima, mostramos a conservação de momento linear (somente a componente horizontal) através de um processo de colisão. Nos dedicaremos mais a este tema na subpágina Colisões.

Uma análise bastante interessante da conservação de momento linear ocorre no espaço sideral. Como nesse lugar a força gravitacional é zero, a força resultante externa é zero; estamos considerando aqui que a espaçonave ou a estação orbital, com todos os seus objetos e os astronautas formam o nosso sistema.

Suponha que durante os reparos na parte externa de um veículo espacial, o astronauta realizou uma manobra e se desgarrou do veículo. Para o seu azar, o cabo que o mantém fixo ao veículo não estava preso sobre ele e portanto começou a flutuar para longe da espaçonave. No desespero, ele viu que não tinha muito o que fazer, mas estava segurando uma chave inglesa. Nessa situação, como ele pode voltar para a nave?

Para responder essa pergunta não podemos esquecer que no espaço sideral não há ar, mas basicamente o vácuo, ou seja, ausência de matéria. Assim, não adianta ele tentar “nadar” na direção da nave, pois não terá um fluido para empurrar e consequentemente ele empurrá-lo de volta (a famosa terceira lei de Newton, que nos “permite” andar, nadar, etc.).

Evidentemente, todo astronauta tem bastante treino técnico, mas principalmente conhecimento de física básica. Sendo assim, sabendo-se que $\vec{F}_\textrm{res}=0$ , o astronauta sabe que “pode contar” com a lei da conservação do momento linear.

Para voltar para a nave, ele arremessa a chave inglesa com a maior força que puder, no sentido contrário da nave. Devido à conservação do momento linear total, o astronauta irá se movimentar no sentido contrário da chave, ou seja, irá se movimentar no sentido da nave.

Na seção seguinte, vamos nos dedicar a processos específicos onde há conservação de momento linear, que são os processos de colisões.

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